Zone de Texte: OUTILS STATISTIQUES
& CAPABILITES

Stéphane RAYNAUD

Laboratoire MIP2

Unité Métrologie Qualité

i. n. s. a. de lyon

Rectangle à coins arrondis: OUTIL N° 1 - L’HISTOGRAMME

1. - Démarche de mise en œuvre d’un histogramme

(d’après Ishikawa)

1.1. - Domaines d’application

Toutes les fois que l’on veut visualiser des effectifs par intervalles de classes définis préalablement.

Permet d’entrevoir l’allure générale de la distribution des données :

¨ nombre de défauts

¨ influence des opérateurs

¨ influence du milieu (on retrouve les 5 M)

¨ influence du matériel, etc, ...

1.2. - Principe

On organise les données en ordre séquentiel en réunissant, dans des classes prédéterminées, les données identiques.

On observe l’allure générale et on détecte les anomalies de distribution.

On conclut quant aux dispersions trouvées et aux actions correctives à mener.

1.3. - Modalités

1°) - Remplir un tableau de données (feuille de relevés), préciser l’unité de mesure

2°) - Compter le nombre total de n données

3°) - Chercher la valeur maxi notée X_M et la valeur mini notée X_m

4°) - Calculer l’étendue notée W = X - X_m

On divise cette étendue en plusieurs « classes » qui représenteront le nombre de

colonnes de l’histogramme.

5°) - Choisir le nombre théorique de classes noté K dans le tableau suivant :

*NOMBRE DE DONNées « n »*	*nombre de classes « k »*
≤ 49	5 à 7
50 à 99	6 à 10
100 à 249	7 à 12
≥ 250	10 à 20

6°) - Déterminer la largeur théorique de la classe appelée « intervalle de classe » notée h_t avec la relation h_t = W / K.

7°) - L’intervalle de classe pratique noté hp qui sera utilisé comme base de l’échelle suivant l’axe des abscisses doit être un multiple de l’unité de mesure.

8°) - Dresser le tableau de calcul des caractéristiques de l’histogramme.

*N° Classes* *Limites*	1	2	3	4	5
Valeur centrale	X_m	X_m + hp	. . .	. . .	. . .
Limite inférieure inclue	X_m -	X_m +	. . .	. . .	. . .
Limite supérieure exclue	X_m +	X_m +	. . .	. . .	. . .

On porte ensuite sur l’axe servant d’abscisse à l’histogramme les limites des classes en partant de la valeur X_m qui sera prise comme valeur centrale de la 1^ère classe.

9°) - Reporter les données relatives à chaque classe correspondante à l’aide de bâtonnets.

10°) - Tracer des rectangles de largeur (la largeur de la classe) et d’hauteur (le nombre total de bâtonnets). Mettre en place les bornes de la spécification qui sont Ti et Ts (tolérance inférieure, tolérance supérieure).

1.4. - Analyse

Interpréter l’allure de la distribution des données. Voir tableau des principales allures possibles.

1.5. - Résultat

Décision : La loi est normale ou non. Moyen de production stable ou non stable.

Prendre les mesures adéquates débouchant sur des actions correctives puis préventives.

2. - Principales allures d’histogrammes

(d’après Pierre SOUVAY)

2.1. - Histogramme normal

Allure normale, dispersion normale, il n’est pas possible d’analyser le centrage par manque de renseignements sur la figure (limite de l’IT).

2.2. - Histogramme avec discontinuité

Allure dissymétrique, la distribution ne suit pas la loi normale.

2.3. - Histogramme en forme de peigne

La distribution semble obéir à une loi normale.

L’irrégularité peut être le fait de la collecte des données (ex. : tendance à arrondir à des valeurs paires lors de la lecture sur l’appareil de mesure.

2.4. - Histogramme mal centré

Allure quasi normale mais un problème de centrage existe, mauvais réglage de la machine, par exemple.

2.5. - Histogramme très dispersé

Allure très dispersée mais normale, moyen de production peu précis.

2.6. - Histogramme comparatif

On montre le résultat d’une action corrective. On analyse le résultat brut sans chercher à analyser l’allure.

REMARQUE :

Il faut se méfier des interprétations trop hâtives. On utilise alors l’outil appelé « catégorisation ». Il s’agit de diviser en catégories pour mettre en évidence l’origine exacte du phénomène observé lors du premier histogramme tracé.

EXEMPLE :

Une machine constituée de trois postes a produit des pièces dont on a mesuré une caractéristique x pour laquelle on a trouvé l’histogramme :

En fait, il faut analyser la production de chaque poste de façon à mettre en évidence les allures des histogrammes et prévoir les actions de correction à mener. Il faudra recentrer la moyenne au poste 2 et améliorer la dispersion au poste 3.

Rectangle à coins arrondis: OUTIL N° 2 - STATISTIQUES

1. - Vocabulaire et abréviations

TERMES	*Définitions*
Caractère	Propriété servant à distinguer les individus d’une population. Un caractère peut être qualitatif (attribut) ou quantitatif. Le terme « variable » est généralement utilisé pour désigner un caractère quantitatif.
Individu	Ce peut être : a) un objet concret ou conventionnel sur lequel un ou plusieurs caractère peuvent être observés. b) une quantité définie de matière sur laquelle un ou plusieurs caractères peuvent être observés. c) une valeur observée d’un caractère quantitatif ou une modalité observée d’un caractère qualitatif.
Echantillon	Un ou plusieurs individus prélevés dans une population et destinés à fournir une information sur la population, cette information peut éventuellement servir de base à une décision concernant la population ou le procédé qui l’a produite.
Population	Ensemble des individus pris en considération.
Effectif	Nombre d’individus de l’ensemble ou d’un sous-ensemble auquel on s’intéresse.
Valeur observée	Valeur d’un caractère quantitatif résultant d’une observation ou d’un essai.
Etendue	Ecart entre la plus petite et la plus grande des valeurs observées.

*TERMES*	*Définitions*
*Classe*	Dans le cas d’un caractère quantitatif, on opère souvent un groupement des observations, à priori ou à posteriori, en partageant l’intervalle total de variation en intervalles partiels joints appelés « classes ». Toutes les observations se situant dans une même classe sont ensuite considérées comme ayant la même valeur, celle-ci est très généralement le centre de la classe.
*Limites de classe*	Valeurs qui définissent les bornes supérieures et inférieures d’une classe. *NOTE* *: On doit préciser laquelle des deux limites est considérée comme appartenant à la classe.*
*Histogramme* (régulier)	Présentation graphique de la distribution d’une variable continue. Après avoir fait le choix d’une unité sur un axe, on porte sur cet axe les limites de classes dans lesquelles on a réparti les observations et on construit une série de rectangles ayant pour base chaque intervalle de classe et ayant une aire proportionnelle à l’effectif ou à la fréquence de la classe.
*Variance*	Moyenne arithmétique des carrés des différences entre les observations et leur moyenne arithmétique.
*Ecart-Type*	Racine carrée positive de la variance.
*Estimation*	a) - Opération ayant pour but, à partir des observations obtenues sur un ou plusieurs échantillons, d’attribuer des valeurs numériques aux paramètres de la population dont ce ou ces échantillons sont issus ou de la loi de probabilité considérée comme représentant de cette population. b) - Résultat de cette opération.
*Moyenne* (arithmétique)	Quotient de la somme des observations par leur nombre.
*Valeurs vraies* N m W s	Effectif de la population mère Moyenne des valeurs constituant la population mère Etendue de la population mère Ecart-type de la population mère

TERMES

Définitions

Variables

x ; x_i

Variable (continue généralement) ; valeur spécifique de la variable x₁, x₂, ..., x_i, ..., x_n

Variable réduire de la loi normale.

Estimation

Ecart-type estimé de la population à partir d’un échantillon

Valeur moyenne des étendues de plusieurs échantillons

Dispersion estimée à partir de S

Estimation de s à partir d’un ensemble d’échantillons de taille réduite

Echantillonnage

n ; f

s’

R ;

Effectif de l’échantillon ; fréquence

Valeur de la moyenne des valeurs d’un échantillon, valeur de la moyenne des moyennes

Ecart-type des valeurs des échantillons

Etendue d’un échantillon, valeur de la moyenne des étendues

Ecart-type instantané correspondant à un échantillon unique de 50 individus

Contrôle

LCI ou LIC

LCS ou LSC

LSI ou LIS

LSS ou LSS

A₂ . D₃. D₄

A₃ . B₃ . B₄

Cm ; Cmk

Cp ; Cpk

dn , cn , bn

NQA

Intervalle de tolérance (IT = Ts = Ti)

Tolérance supérieure

Tolérance inférieure

Limite de contrôle inférieure ou limite inférieure de contrôle

Limite de contrôle supérieure ou limite supérieure de contrôle

Limite de surveillance inférieure ou limite inférieure de surveillance

Limite de surveillance supérieure ou limite supérieure de surveillance

Constantes dans le calcul des limites de contrôle

Indice de « capabilité machine »

Indice de « capabilité procédé »

Limite centrale (c’est x ou R ou S)

Constantes pour le calcul de

Critère d’acceptation d’un lot

Critère de rejet d’un lot

Niveau de qualité acceptable (associé à a)

Limite de qualité (associé à b)

Efficacité

Probabilité d’acceptation d’une hypothèse

Risque du fournisseur (ou producteur) appelé aussi risque de première espèce

Risque du client appelé aussi « risque de deuxième espace »

2. - LOI NORMALE ET TEST DE NORMALIté

2.1. - Loi normale

2.1.1. - Répartition uniforme

a) - Histogramme

b) - Informatique

¨ RND (X) donne une distribution uniforme entre 0 et X

¨ X (I) = FRAC ( p + X (I - 1) )⁵ avec 0 < X (0) < 1

2.1.2. - Répartitions gaussiennes

a) - Répartition

x

n

b) - Informatique

donne une distribution uniforme gaussienne lorsque n Ô ¥ (l’approximation est acceptable pour n = 2).

2.1.3. - Loi normale réduite

L’intervalle considéré est ± t . s , P2 est la probabilité d’être dans cet intervalle, P3 celle d’être en dehors. P1 est la probabilité d’être entre 0 et t . s.

VALEURS DE LA COLONNE P₂

Probabilité d’un écart à la moyenne supérieure à t

+ t

- t

x

n

FONCTIONS DE REPARTITION - Valeurs de p pour t donné.

valeurs de p

p₁

p₂

p₃

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.55

0.60

0.65

(0.6745)

0.70

0.75

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

1.25

1.30

1.35

1.40

1.45

1.50

1.55

1.60

1.65

1.70

1.75

1.80

1.85

1.90

1.95

(1.96)

2.00

2.10

2.20

2.30

2.40

2.50

(2.576)

2.60

2.70

2.80

2.90

3.00

3.20

3.40

3.60

3.80

4.00

4.50

0.0198

0.0398

0.0596

0.0793

0.0987

0.1179

0.1368

0.1554

0.1736

0.1915

0.2088

0.2257

0.2422

(0.25)

0.2580

0.2734

0.2881

0.3023

0.3159

0.3289

0.3413

0.3531

0.3643

0.3749

0.3849

0.3944

0.4032

0.4115

0.4192

0.4265

0.4332

0.4394

0.4452

0.4505

0.4554

0.4599

04641

0.4678

0.4713

0.4744

(0.4750)

0.4772

0.4821

0.4861

0.4893

0.4918

0.4938

(0.4950)

0.4953

0.4965

0.4974

0.4981

0.49865

0.49931

0.49966

0.499841

0.499928

0.499968

0.499997

0.0398

0.0796

0.1192

0.1586

0.1974

0.2358

0.2736

0.3108

0.3472

0.3830

0.4176

0.4514

0.4844

(0.500)

0.5160

0.5468

0.5762

0.6046

0.6318

0.6578

0.6826

0.7062

0.7286

0.7498

0.7698

0.7888

0.8064

0.8230

0.8384

0.8530

0.8664

0.8788

0.8904

0.9010

0.9108

0.9198

0.9282

0.9356

0.9426

0.9488

(0.95)

0.9544

0.9642

0.9722

0.9786

0.9836

0.9876

(0.99)

0.9906

0.9930

0.9948

0.9962

0.9973

0.99852

0.99932

0.999682

0.999856

0.999936

0.999994

0.999

0.7602

0.9204

0.8808

0.8414

0.9026

0.7642

0.7264

0.6892

0.6528

0.6170

0.5824

0.5486

0.5156

(0.500)

0.4840

0.4532

0.4238

0.3954

0.3682

0.3422

0.3174

0.2938

0.2714

0.2502

0.2302

0.2112

0.1936

0.1770

0.1616

0.1470

0.1336

0.1212

0.1096

0.0990

0.0892

0.0802

0.0718

0.0544

0.0574

0.0512

(0.05)

0.0456

0.0358

0.0278

0.0214

0.0164

0.0124

(0.01)

0.0094

0.0070

0.0052

0.0038

0.0027

0.00138

0.00068

0.000318

0.000144

0.000064

0.000006

2.2. - Loi normale ou loi de Laplace-Gauss

C’est la loi de distribution ou loi de probabilité qui régit habituellement les variables aléatoires continues x que l’on peut mesurer.

La répartition des individus s’effectue sous forme d’une « cloche ». Les effectifs sont maximum aux alentours de la moyenne et décroissent symétriquement de chaque côté. La courbe est convexe au milieu et concave de chaque côté. Le point de rencontre de ces deux portions de courbe est un point d’inflexion repéré I.

Le trait central qui partage symétriquement la courbe en cloche est la moyenne m.

La distance qui sépare le point I du trait m a pour mesure s (sigma). C’est l’écart-type de la population.

Variable X

Résumé :

Une distribution normale est donc définie complètement par deux paramètres :

¨ paramètre de position : moyenne m qui situe la distribution des valeurs de la variable sur l’échelle de mesure : m

¨ paramètre de dispersion : dispersion s qui caractérise la plus ou moins grande dispersion des valeurs autour de la moyenne m.

EXEMPLE :

2.3 - Test de normalité

2.3.1. - Droite de Henry

Cette méthode graphique permet de comparer la distribution étudiée avec une distribution parfaite. On peut obtenir ainsi la valeur moyenne et l’écart type de la distribution.

¨ abscisse : limites des classes

¨ ordonnée : fréquences relatives cumulées.

¨ Si les points sont alignés, la distribution est normale.

¨ Les tests de normalité peuvent être effectués sur des documents « types ». Ils permettent de tester la normalité et de tracer l’histogramme.

III - définitions des grandeurs courantes.

3.1. - Moyennes

pour (population)

pour (échantillon)

3.2. - Etendue

3.3. - Ecarts-types

Rectangle à coins arrondis: OUTIL N° 3
ECHANTILLONNAGE ET ESTIMATION
DES GRANDEURS

I - estimation de l’écart-type et de la moyenne.

1.1- Distribution de s et X

Soit une population Po de N éléments ayant un écart-type s et une moyenne m.

On considère alors k échantillons de taille identique n.

avec :

L’analyse des différentes échantillons permet de tracer les deux diagrammes de répartition suivant :

Distribution

des K moyennes

Distribution

des K écarts-types

s’_k

x_K

n

1.2. - Estimation à partir d’un échantillon

1.2.1. - Grands échantillons : n ³ 30

¨

Nombre d’éléments de l’échantillon

Estimation de l’écart-type de la population totale uniquement à partir de l’écart-type de l’échantillon :

Écart-type de la population

Écart-type de l’échantillon

¨ Encadrement de la moyenne : (t est associé à la probabilité désirée pour que l’encadrement soit vrai)

¨ Encadrement de l’écart type :

avec

1.2.2. - Petits échantillons : n < 30

¨ Loi de Student : On peut obtenir un encadrement de la moyenne :

t est à rechercher dans la table de la loi de Student à v = (n - 1) degrés de liberté.

Exemple : probabilité de 0.95

échantillon de n = 15 pièces Þ v = n - 1 = 14

On obtient t = 2.145

¨ Estimation de s à l’aide de s’ :

Écart-type de l’échantillon ou moyenne des écarts-types de plusieurs échantillons

Écart-type de la population

bn est donné par la table suivante :

0.564

0.724

0.798

0.841

0.869

0.888

0.903

0.914

0.923

0.930

0.936

0.941

0.945

0.949

0.952

0.955

0.958

0.960

0.962

0.964

0.966

0.967

0.968

0.970

0.971

0.972

0.973

0.974

0.975

REMARQUE :

à 1,5 % près si n ³ 10

à 8 % près si n ³ 4

NB. : bn = c4.

¨ Estimation de s à l’aide des étendues : On appelle étendue d’un échantillon, la différence entre la grandeur de l’élément le plus grand et celle du plus petit.